Inhoud

Het werkstuk
klik op dit plaatje voor een uitvergroting Wie was Pythagoras? klik op dit plaatje voor een uitvergroting
Pythagoras van Samos was een Griekse filosoof, geboren op het Griekse eiland Samos rond 570/580 vóór christus. In het jaar 529 vóór christus is hij naar Italië gegaan, om precies te zijn naar Crotona, en heeft daar zijn eigen school opgericht waar hij aan volwassenen filosofie en wiskunde doceerde. Pythagoras was héél gelovig. Alle studenten op zijn school moesten zich houden aan bepaalde regels, bijvoorbeeld het niet eten van vlees. Pythagoras dacht dat hierdoor de ziel schoon bleef. Ze moesten vijf jaar lang stil zijn, luisteren naar de theorieën van oudere studenten. Deed een van de studenten van Pythagoras een ontdekking dan bleef hij annoniem, de ontdekking was door de school gedaan, de school kreeg dus alle eer en niet de student. In Crotona is hij gestorven rond 497 vóór christus. Hij hield zich, naast de filosofie, ook veel bezig met de wiskunde en de astronomie. Hij ontwikkelde bijvoorbeeld de theorie dat licht uit een lichtbron op alle voorwerpen weerkaatst, en dat die weerkaatsingen van licht, als deze op je ogen vallen, ervoor zorgen dat je kunt zien. Hij was ook de eerste die ontdekte dat de ochtendster en de avondster beiden de planeet Venus waren. Voor de wiskunde heeft hij "De stelling van Pythagoras" bedacht, hierover later meer.
driehoek De stelling van Pythagoras driehoek
De stelling van Pythagoras is een formule die Pythagoras heeft bedacht voor rechte driehoeken:A2+B2=C2 waarbij A en B lijnstukken zijn die een rechte hoek met elkaar maken, en C de hypothenusa. Deze formule is uiterst handig, Pythagoras is hierdoor ook bekend. Als je bijvoorbeeld een rechte driehoek hebt waarvan je lengte A en lengte B weet, kun je zo lengte C berekenen, deze formule geldt altijd, zonder uitzondering. Hoewel Pythagoras de eerste was die de formule heeft bewezen, was hij toch niet de eerste die deze formule had ontdekt. Zo'n 1000 jaar voor Pythagoras gebruikten de Babylonieërs deze methode ook al.
Er zijn een aantal getallen waarmee het erg gemakkelijk is te berekenen, bijvoorbeeld A=3 B=4 dus -->32+42=9+16=25, de wortel van 25 is 5 dus C=5. Dit geld ook voor veelvouden van deze getallen, bijvoorbeeld: A=6 B=8 dus -->C=10, A=9 B=12 dus --> C=15 enz. Er zijn oneindig veel getallen waarmee dit mogelijk is, waarvan slechts een klein deel veelvouden van het bovengenoemde voorbeeld zijn. Om zulke getallen te kunnen berekenen heb ik een Arexx programmaatje geschreven, Arexx is de Amiga versie van Rexx, een computertaal die op bijna alle platformen draait. Dit programmaatje kun je hier downloaden. Het programmaatje is natuurlijk nog niet helemaal perfect. Ingeval het programmaatje niet draait staat er hier een lijstje met een aantal hele getallen vergelijkbaar met de bovengenoemden. Ik heb hetzelfde programmaatje voor de TI-83 geschreven.
De stelling bewezen
Wanneer er aan elk lijnstuk van een rechte driehoek een vierkant wordt geplaatst, met een oppervlakte de betreffende lijn in het kwadraat, zul je zien dat de vierkanten van lijnen A en B (zie plaatjes aan de zijkant) samen dezelfde oppervlakte hebben als het viekant aan lijn C. Oppervlakte A (A2) + Oppervlakte B (B2) = Oppervlakte C (C2)
bewijsNog een bewijs: De 6 blauwe driehoeken en de groene driehoek zijn allen even groot. In het plaatje hiernaast kun je twee even grote vierkanten onderscheiden: vierkant AB en vierkant CD. Als je uit zowel vierkant AB en vierkant CD 3 blauwe driehoeken knipt, blijven de groene driehoek en de 3 rode vierkanten (de kwadraten van de zijden van de groene driehoek) over. De oppervlakte van de 2 overgebleven figuren (nadat je de 6 blauwe driehoeken hebt weggeknipt) is nog steeds gelijk. Dat betekent dat de oppervlakte van de 2 kleinste rode vierkanten samen gelijk is aan de oppervlakte van het grootste rode vierkant, oftewel A2+B2=C2.
Links over Pythagoras
Get Firefox Deze pagina is gemaakt door Guno Heitman